ПРОГРАММА «II СТУПЕНИ»

3 ТРИМЕСТР

1. Комбинаторика 2
В этом блоке мы сосредоточимся на темах, характерных для Московской математической олимпиады.

Основными темами этого блока будут:

1. Логические рассуждения
Часто задачи, предлагаемые на ММО, сложно отнести к какой-то конкретной теме и выделить четкие техники, с помощью которых они решаются. Скорее важно научиться ориентироваться в заранее незнакомой ситуации, привлекая обычную логику и здравый смысл.

2. Кооперативные стратегии
Задачи данного типа являются некоторым обобщением процессов, рассмотренных нами в предыдущем триместре. Отличительная их особенность заключается в том, что задача на первый взгляд выглядит невозможной: кажется, что решения в ней просто не существует, поскольку стартовых данных не хватает. Но и к таким задачам существуют подходы.

2. Геометрия 2
В этом блоке мы рассмотрим классические конструкции вокруг вписанных углов. Техника вписанных углов и вообще работы с окружностями существенно расширяет спектр наших возможностей при решении геометрических задач. Наряду с тренировкой необходимой техники мы также рассмотрим некоторые известные факты и теоремы, знание которых в современной олимпиадной среде необходимо для успешного решения задач.

Основными темами блока будут:

1. Теоремы о вписанных углах, вписанных четырехугольниках
Это такая же необходимая для школьников 8 класса техника, как для 3-классника — таблица умножения. Поэтому важно отработать ее до хорошего уровня.

2. Классические факты
Помимо самой техники вписанных углов, важно научиться замечать в задачах уже готовые конструкции, про которые заранее известно, какими полезными свойствами они обладают. Среди таких конструкций мы рассмотрим следующие: точка Микеля, прямая Симсона, леммы о воробьях и задача 255.

3. Теория чисел 2
Завершает наш учебный год блок по классической теории чисел. В современной олимпиадной математике есть множество фактов, про которые считается, что их нужно знать, так же, как нужно знать, кто написал Мону Лизу, когда Гагарин полетел в космос и т.д. В теории чисел такие факты связаны с более продвинутыми идеями при работе с остатками по модулю, по сравнению с теми, которые мы рассматривали в первом триместре.

Основными темами блока будут:

1. Обратные остатки и деление в остатках
Мы привыкли к тому, что остатки можно складывать, вычитать и умножать: 2 * 3 = 1 (mod 5). А можно ли сказать, что такое ½ (mod 5)? Оказывается, да (попробуйте догадаться!) Добавление операции деления при работе с остатками существенно расширяет диапазон их применения, и для начала нам нужно будет научиться использовать эту новую операцию.

2. Малая теорема Ферма, теорема Вильсона, теорема Жирара
Эти факты были открыты несколько веков назад. И до сих пор считаются жемчужинами в теории чисел: настолько они красивы и изящны. Мы рассмотрим доказательства этих фактов, опираясь на развитый нами подход, связанный с делением остатков, и единообразно получим эти факты как легкое следствие данного подхода. Также мы рассмотрим некоторые олимпиадные задачи, связанные с этими классическими утверждениями.